Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x，x′∈R，均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）试证明：函数y=f（x）在R上是单调函数；
（2）判断y=f（x）的奇偶性，并证明．
（3）解不等式f（x+3）+f（4x）≤2．
（4）试求函数y=f（x）在[m，n]（mn＜0且m，n∈R）上的值域．

Answer

（1）利用抽象函数，去判断f（x1），f（x2）与x1，x2的大小关系，从而确定单调性．
（2）利用函数奇偶性的定义判断．
（3）结合条件，利用单调性求解．
（4）利用单调性和奇偶性求函数的值域．
【解析】
（1）任意设x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1），
因为x10．又因为对任意x＞0都有f（x）＜0，所以f（x2-x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）．
所以函数f（x）在R上单调递减．
（2）令x=x′=0，有f（0）=0，令x'=-x，则f（-x）+f（x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数．
（3）因为f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-3，f（2）=2f（1），解得f（1）=-1，f（2）=-2，
所以f（-2）=-f（2）=2．所以不等式不等式f（x+3）+f（4x）≤2等价为f[4x+（x+3）]≤f（-2），
因为函数f（x）在R上单调递减，所以5x+3≥-2，即x≥-1．
所以不等式的解集为[-1，+∞）．
（4）由（1）知函数f（x）在[m，n]上单调递减，所以函数f（x）的值域为[f（-n），f（-m）]．