Question

已知圆C：x²+y²=1，点P（x，y）在直线x-y-2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，则x的取值范围是（ ）
A．[-1，1]
B．[0，1]
C．[-2，2]
D．[0，2]

Answer

根据圆的切线的性质，可知当过P点作圆的切线，切线与OP所成角是圆上的点与OP所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此时半径，切线与OP构成直角三角形，因为切线与OP所成角大于等于30°所以OP小于等于半径的2倍，再用含x的式子表示OP，即可求出x的取值范围．
【解析】
过P作⊙C切线交⊙C于R，根据圆的切线性质，有∠OPR≥∠OPQ=30°．
反过来，如果∠OPR≥30°，则存在⊙C上点Q使得∠OPQ=30°．
∴若圆C上存在点Q，使∠OPQ=30°，则∠OPR≥30°
∵|OR|=1，∴|OP|＞2时不成立，∴|OP|≤2．
∵|OP|2=x2+y2=x2+（x-2）2=2x2-4x+2
∴2x2-4x+2≤2，解得，0≤x2≤2∴x的取值范围是[0，2]
故选D