Question

已知圆O：x²+y²=4内一点P（0，1），过点P的直线l交圆O于A，B两点，且满足（λ为参数）．
（1）若，求直线l的方程；
（2）若λ=2，求直线l的方程；
（3）求实数λ的取值范围．

Answer

（I）当直线l的斜率不存在时，求得|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入
圆的方程整理，利用弦长公式可求得直线方程．
（II）当直线l的斜率不存在时，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程，整理得
（1+k2）x2+2kx-3=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，由
可得x1=-2x2 ，则有，由此解得k的值，可得直线l的方程．
（III）当直线l的斜率不存在时，由条件求得λ的值．当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为y=kx+1，
代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx-3=0（*）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程
（*）的两根，由可得x1=-λx2，则有，化简可得，而，再由求出λ的范围．
综合可得实数λ的取值范围．
【解析】
（I）当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不满足条件．故可设所求直线l的方程为y=kx+1代入圆的方程，
整理得（1+k2）x2+2kx-3=0，
利用弦长公式可求得直线方程为y=x+1或y=-x+1．
（II）当直线l的斜率不存在时，或，不满足条件，故可设所求直线l的方程为y=kx+1
代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx-3=0，（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，
由可得x1=-2x2 ，则有．
（1）2÷（2）得，解得，
所以直线l的方程为．
（III）当直线l的斜率不存在时，或，λ=3或或，
当直线l的斜率存在时可设所求直线l的方程为y=kx+1，代入圆的方程，整理得（1+k2）x2+2kx-3=0，（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2为方程（*）的两根，
由可得x1=-λx2 ，
则有，（3）2÷（4）得，
而，由，可解得，
所以实数λ的取值范围为．