Question

已知数列{a_n}的前n项和，且a_n是b_n和1的等差中项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若，求；
（3）若是否存在n∈N^*，使f（n+11）=2f（n）？说明理由．

Answer

（1）利用an与Sn的关系求出数列{an}的通项公式，然后利用an是bn和1的等差中项，求出{bn}的通项公式．
（2）求出数列{Cn}的通项公式，然后利用裂项法求和．
（3）先求出f（n）的表达式，然后通过等式f（n+11）=2f（n），求n．
【解析】
（1）因为，
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n-1，n=1也成立，
所以an=n-1．
因为an是bn和1的等差中项，所以bn+1=2an，所以bn=2an-1=2n-3…（3分）．
（2）因为，
所以==…（6分）
（3）当n=2k-1时，f（n+11）=2n+19，
2f（n）=2（n-1），f（n+11）=2f（11）
⇒2n+19=2n-2无解  …（9分）
当n=2k（k∈z）时f（n）=2n-3，f（n+1）=n+10，f（n+11）=2f（n），
所以n+10=4n-6，此时无整数解，
故这样的值不存在．              …（12分）