Question

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）当x＞0时，求证；
（3）当n∈N₊且n≥2时，求证：．

Answer

（1）求导函数，确定合适的单调性，g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增，比较端点的函数值，即可确定g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）函数的定义域为（-1，+∞），构造函数h（x）=f（x）-x，可得函数在（-1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减，从而在x=0处，函数取得极大值，也是最大值，同理构造函数φ（x）=f（x）-，可得函数在（-1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增，从而在x=0处，函数取得极小，也是最小值
（3）根据f（x）=ln（x+1），可得f（n）-f（n-1）=f（）由（2）知：，从而，进而利用叠加可得结论．
（1）【解析】
，=
∴g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增
∵g（0）=0，g（1）=，g（2）=-1+ln3
∴g（x）在[0，2]上的最大值为-1+ln3，最小值为0
（2）证明：函数的定义域为（-1，+∞）
构造函数h（x）=f（x）-x，∴h′（x）=
∴函数在（-1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减
∴在x=0处，函数取得极大值，也是最大值
∴h（x）≤h（0）=0
∴f（x）-x≤0
∵x＞0，∴
构造函数φ（x）=f（x）-，∴φ′（x）=
∴函数在（-1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增
∴在x=0处，函数取得极小，也是最小值
∴φ（x）≥φ（0）=0
∴f（x）-≥0
∵x＞0，∴
∴
（3）证明：∵f（x）=ln（x+1），∴f（n）-f（n-1）=f（）
由（2）知：
∴
∴，，，…，
叠加可得：