Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有T_n＜2；
（3）正数数列{c_n}中，a_n+1=（c_n）ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{c_n}中的最大项．

Answer

（1）根据an=Sn-Sn-1，整理得an-an-1=1进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．
（2）把（1）中求得的an代入求得的bn通项公式，利用裂项法可证明原式．
（3）由的an代通项公式可分别求得c1，c2，c3，c4，猜想n≥2时，{cn}是递减数列令，进而进行求导，根据n≥3时，f′（x）＜0，判断出在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，n≥2时，{lncn}是递减数列，即{cn}是递减数列，同时c1＜c2，进而可知数列的最大项为c2．
【解析】
（1）由已知，对于任意n∈N*，总有2Sn=an+an2①成立
所以2Sn-1=an-1+an-12②
①-②得，2an=an+an2-an-1-an-12，
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵an，an-1均为正数，
∴an-an-1=1（n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a1=1∴an=n（n∈N*）
（2）证明：∵对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828）和任意正整数n，
总有，
∴=
（3）由已知，，
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞
猜想n≥2时，{cn}是递减数列
令
则，
∵当x≥3时，lnx＞1，则1-lnx＜0，f′（x）＜0，
∴在[3，+∞）内，f（x）为单调递减函数，
由an+1=（cn）n+1（n∈N*），知
∴n≥2时，{lncn}是递减数列，即{cn}是递减数列，
又c1＜c2，
∴数列{cn}中的最大项为．