Question

已知函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）试判断当a，b为何值时，函数f（x）为偶函数；
（Ⅱ）当a=-，b=0时，求函数f（x）在R上的最值．

Answer

（Ⅰ）利用偶函数的定义，得到f（-x）=f（x），从而确定a，b．
（Ⅱ）利用函数的最值和导数的关系求出函数的最值．
【解析】
（Ⅰ）要使函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R）为偶函数，则f（-x）=f（x），
即x4-ax3+2x2+b=x4+ax3+2x2+b，解得a=0，b∈R时，函数为偶函数．                   …（5分）
（Ⅱ）f'（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．     …（6分）
当时，f'（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）． …（7分）
令f'（x）=0，解得x1=0，，x3=2．  …（8分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，0） 2 （2，+∞）
f'（x） - + - +
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∵
∴当x=2时取得最小值…（14分）