Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；   
（3）求二面角C-PB-D的大小．

Answer

方法一：
（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；
（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；
（3）确定∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，利用正弦函数即可求解；
方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a
（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明，这表明PA∥EG，可得结论；
（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；
（3）确定∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．
方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
所以，PA∥平面EDB
（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC    ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE    ②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD
（3）【解析】
由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB
设正方形ABCD的边长为a，则，
在Rt△PDB中，
在Rt△EFD中，，∴
所以，二面角C-PB-D的大小为；
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且

∴，这表明PA∥EG
而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB
（2）证明；依题意得B（a，a，0），
又，故
∴PB⊥DE
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD
（3）【解析】
设点F的坐标为（x，y，z），，则（x，y，z-a）=λ（a，a，-a）
从而x=λa，y=λa，z=（1-λ）a
所以
由条件EF⊥PB知，，即，解得
∴点F的坐标为，且，
∴
即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角
∵，且，，
∴
∴
所以，二面角C-PB-D的大小为．