Question

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是右准线上任意一点，过F₂作直线PF₂的垂线F₂Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

Answer

（1）由题意可得，解出即可；
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得kPQ•kOQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
（3）由（2）知，直线PQ的方程为，即，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．
【解析】
：（1）由题意可得，解得，c=1，
所以椭圆E：．
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，
设P（3，y），Q（x1，y1），
因为PF2⊥F2Q，所以，
所以-y1y=2（x1-1）
又因为且代入化简得．
即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
（3）由（2）知，，，
∴．
∴直线PQ的方程为，即，
联立得，
∵，．
∴化简得：，又△=0，
解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．