Question

设函数f（x）=alnx，．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若在[1，e]上存在一点x，使得成立，求a的取值范围．

Answer

（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；
（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；
（3）原不等式等价于，整理得，设右边对应的函数为m（x），求得它的导数m'（x）=，然后分a≤0、0＜a≤e-1和a＞e-1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（，+∞）．
【解析】
（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，
由得-2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．
所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）
（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即为，
化简得：，
由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而，设，
由=，
∵当x∈（1，e）时x-1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．
由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[-，+∞）…（10分）
（3）不等式等价于，
整理得，设，
则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x，使得m（x）＜0．
对m（x）求导数，得，
因为x＞0，所以x+1＞0，令x-1-a=0，得x=1+a．…（12分）
①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜-2．
②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e-1时，m（x）在1+a处取得最小值，
令m（1+a）=1+a-aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得
考察式子，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立
③当1+a＞e，即a＞e-1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得，
又因为，所以．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，-2）∪（，+∞）．…（16分）