Question

已知不等式组，
（1）若该不等式组表示的平面区域内的整点有且仅有一个，且在直线4x-3y+m=0上，则实数m=    ；
（2）若该不等式组表示的平面区域内的整点有且仅有三个，则实数m的取值范围是    ．

Answer

（1）作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0内部，不等式组表示的平面区域内的整点有且仅有一个，必定是（-1，1），因此（-1，1）在直线4x-3y+m=0上，可解出m=7；
（2）记直线l：4x-3y+m=0，随着l向上平移，可见区域内依此出现点（-1，1）、（-1，2）、（-2，1）、（-1，3），由此建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的范围．
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△AB0内部，其中A（-，0），B（0，），0为坐标原点
（1）∵不等式组表示的平面区域内的整点有且仅有一个，
∴必定有（-1，1）在区域内，故点（-1，1）在直线4x-3y+m=0上，
即4×（-1）-3×1+m=0，解之得m=7；
（2）结合直线的斜率k=，平移直线l：4x-3y+m=0
随着直线l的向上平移，区域内依此出现点
（-1，1）、（-1，2）、（-2，1）、（-1，3）
∴若该不等式组表示的平面区域内的整点有且仅有三个，必定是（-1，1）、（-1，2）、（-2，1）
记F（x，y）=4x-3y+m=0，则
即，解之得-13＜m≤-11
故答案为：7，-13＜m≤-11