Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，
（1）若f（x）=2f（-x），求的值；
（2）设函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x），试讨论函数F（x）的单调性．

Answer

（I）首先得出f（-x）=cosx-sinx，进而化简sinx+cosx=2（cosx-sinx）得出tanx的值，然后将所求式子中的“1”用sin2x+cos2x替换，再分子分母同时除以cos2x，即可求出结果；
（II）先由题意求出F（x）=cos2x+sin2x+1，再由两角和的正弦公式化简，由正弦函数的单调区间和整体思想求出F（x）的单调区间．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0∴tanx=，
则=
===，
（Ⅱ）由题意知，F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=cos2x+sin2x+1=，
由（k∈z）得
（k∈z），
由（k∈z）得，
（k∈z），
∴函数F（x）的单调递增区间为 （k∈z），
单调递减区间为  （k∈z）．