Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=a，且
（1）若数列{a_n}是等比数列，求实数a的值；
（2）设b_n=na_n，在（1）的条件下，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项不为0的数列{c_n}中，所有满足c_i•c_i+1＜0的整数i的个数称为这个数列{c_n}的“积异号数”，令，在（2）的条件下，求数列{c_n}的“积异号数”．

Answer

（1）根据an+1=2Sn+1（n∈N*），类比可得an=2Sn-1+1（n≥2，n∈N*），两式相减即可得到结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）确定C1C2=-1＜0，n≥2时，Cn＞0，即可得到结论．
【解析】
（1）由已知得an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2，n∈N*），
两式相减得an+1-an=2（Sn-Sn-1）=2an，即an+1=3an（n≥2，n∈N*）．
又a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1，所以a1=1
所以数列{an}是以1为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）得，
∴bn=nan=n•3n-1
∴Tn=1+2•3+3•32+…+n•3n-1，
∴3Tn=1•3+2•32+…+（n-1）•3n-1+n•3n，
两式相减可得：-2Tn=1+3+32+…+3n-1-n•3n，
∴Tn=；
（3）由（2）知，bn=n•3n-1，
∵
∴，∴C1C2=-1＜0
∵Cn+1-Cn==＞0
∵＞0，∴n≥2时，Cn＞0
∴数列{cn}的“积异号数”为1．