Question

已知f（x）在（-1，1）上有定义，，且满足x，y∈（-1，1）有．对数列{x_n}有
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（2）求f（x_n）的表达式．
（3）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*且＜成立？若存在，求出m的最小值．

Answer

（1）先令x=y=0，解得f（0），再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0由奇偶性定义判断．
（2）由易知0＜xn＜1，由主条件得和f（x）在（-1，1）上为奇函数得f（xn+1）=2f（xn）再由f（x1）=1，得到f（xn）是以1为首项，2为公比的等比数列求解．
（3）由（2）将成立转化为恒成立，由得求解．
【解析】
（1）当x=y=0时，f（0）=0，再令x=0得f（0）-f（y）=f（-y）即f（y）+f（-y）=0
∴f（x）在（-1，1）上为为奇函数．
（2）由易知：{xn}中0＜xn＜1，
∵且f（x）在（-1，1）上为奇函数
∴f（xn+1）=2f（xn）由，
∴f（x1）=1
∴f（xn）是以1为首项，2为公比的等比数列∴f（xn）=2n-1
（3）
假设存在m使得成立，即恒成立，
∵，
∴，
∴m≥16，
∴存在自然数m≥16，
使得成立，此时最小的自然数m=16．