Question

选修4-5；不等式选讲．
已知a∈R，设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．
（Ⅰ）若a=1，求A；
（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．

Answer

（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论；
（II）当x≤-2时，|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞-2时，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4，从而可求a的取值范围．
【解析】
（I）若a=1，则|2x-1|+|x+3|≥2x+4
当x≤-3时，原不等式可化为-3x-2≥2x+4，可得x≤-3
当-3＜x≤时，原不等式可化为4-x≥2x+4，可得3x≤0
当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2
综上，A={x|x≤0，或x≥2}；
（II）当x≤-2时，|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立
当x＞-2时，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4
∴x≥a+1或x≤
∴a+1≤-2或a+1≤
∴a≤-2
综上，a的取值范围为a≤-2．