Question

已知函数f（x）=x³+2f′（x）x，x∈[-3，3]
（1）求f（x）的极值；
（2）讨论关于x的方程f（x）=m的实根个数．

Answer

（1）求导数．利用导数求极值．（2）根据（1）求出函数f（x）的极值和最值即可．
【解析】
（1）函数的导数f'（x）=3x2+2f'（1），令x=1得，f'（1）=3+2f'（1），解得f'（1）=-3．
所以．
列表：当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
 x -3  （-3，）    （）    （）  3
 f'（x）   +   -   +  
 f（x） -9  递增  4  递减    递增  9

所以当x=时，取得极大值 f（x）=4，当x=时，取得极小值 f（x）=-4．
（2）由（1）可以作出函数f（x）=x3-6x在[-3，3]上的大致图象如图：
当m∈（-∞，-9）∪（9，+∞）时，方程无实数根；
当m∈[-9，-4）∪（，9]时，方程有一个实数根；
当m=或m=时，方程有两个不等的实数根；
当m∈（）时，方程有三个不等的实数根．