Question

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点到直线+=1的距离d=，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值．并求出定值．

Answer

（I）由右焦点到直线+=1的距离d=，可得，又，及a2=b2+c2联立即可解出；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），（1）直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，把根与系数的关系代入即可；（2）直线AB斜率不存在时也满足．
【解析】
（I）由右焦点到直线+=1的距离d=，可得，化为3（a2+b2）=7（bc-ab）2，又，联立得，解得，
∴椭圆C的方程为．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
（1）直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立
消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
∴，．
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即，
∴，整理得7m2=12（k2+1），并且满足△＞0．
所以O到直线AB的距离为定值．
（2）直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为：，化为，点O到直线AB的距离为为定值．
综上（1）（2）可知：点O到直线AB的距离为定值．