Question

椭圆的右焦点为F，P₁、P₂、P₃是此椭圆上不同的三点，且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₁，则=    ．

Answer

记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi=αi（i=1，2，3），假设 0≤α1＜，且 α2=α1+，α3=α1+，又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率 e==，从而有|FPi|=|PiQi|•e=（ -c-|FPi|cosαi）e=（9-|FPi|cosαi）（i=1，2，3）．由此入手能够推导出结果．
【解析】
由题意知a=5，b=4，c=3，e=．
记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi=αi（i=1，2，3），不失一般性，
假设 0≤α1＜，且 α2=α1+，α3=α1+，
又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率 e=，从而有|FPi|=|PiQi|•e=（-c-|FPi|cosαi）e=（-|FPi|cosαi）（i=1，2，3）
解得  =（1-cosαi）（i=1，2，3）
则
=-[cosα1+cos（α1+）+cos（α1+）]，
而 cosα1+cos（α1+）+cos（α1+）
=cosα1-cosα1-sinα1-cosα1+sinα1=0，
故  =．
故答案为：．