Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x，y）（x≠0）作斜率为k₁、k₂的两条直线分别交抛物线C于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点（P、A、B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；
（2）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围．

Answer

（1）设直线PA、PB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，确定P，M的坐标，即可证明线段PM的中点在y轴上；
（2）∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有，由此即可求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．
（1）证明：设直线PA的方程为y-y=k1（x-x），直线PB的方程为y-y=k1（x-x）．
点P（x，y）和点A（x1，y1）的坐标是方程组的解．
将②式代入①式得ax2-k1x+k1x-y=0，于是，故③（3分）
又过点P（x，y）和点B（x2，y2）的直线的斜率为k2，同理可得．
由已知得，k2=-λk1，则． ④（4分）
设点M的坐标为（xM，yM），由，则．
将③式和④式代入上式得，即xM+x=0．
∴线段PM的中点在y轴上．    （6分）
（2）【解析】
因为点P（1，-1）在抛物线y=ax2上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x2．
由③式知x1=-k1-1，代入y=-x2得．
将λ=1代入④式得x2=k1-1，代入y=-x2得．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为，．  （8分）
于是，，．
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有．
即2k1（k1+2）（2k1+1）＜0    （10分）
解得k1＜-2或．   （12分）
又点A的纵坐标y1满足，
故当k1＜-2时，y1＜-1；当时，．
即（13分）