Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由AB∥CD且AD=DC，得∠DAC=∠DCA=∠CAB，得根据等腰梯形的性质结合题中的数据算出∠CAB=∠DAB=30°，得△ABC中∠ACB=90°，从而AC⊥BC．最后根据平面ACEF⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质定理即可证出BC⊥平面ACFE；
（2）以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，建立空间直角坐标系如图．结合题中数据得到A、B的坐标，设M（a，0，1）从而得出、的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法算出=（1，，）是平面AMB的一个法向量，结合是平面FCB的一个法向量．利用空间向量的夹角公式算出向量、的余弦之值，由平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，建立关于a的方程并得到此方程无实数解．由此可得不存在在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．
【解析】
（1）∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，
∵梯形ABCD是等腰梯形，得∠DAB=∠ABC=60°，
∴∠CAB=∠DAB=30°，得△ABC中，∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=90°，即AC⊥BC，（3分）
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，BC⊂平面平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE；（5分）
（2）由（1）知AC、BC、CF两两互相垂直，以C为坐标原点，AC、BC、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴轴，
建立空间直角坐标系如图，
∵Rt△ABC中，BC=1，∠ABC=60°，∴AC=BCtan60°=，
可得A、B的坐标分别为A（，0，0），B（0，1，0），设M（a，0，1），则
，，（7分）
设=（x，y，z）是平面AMB的一个法向量，则
（9分）
取x=1，得=（1，，），（10分）
∵是平面FCB的一个法向量，
∴若平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，得
cos＜，＞==（12分）
化简，得2+（）2=0，显然此方程无实数解，（13分）
因此，线段EF上不存在点M使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°．（14分）