Question

如图，已知椭圆E₁方程为，圆E₂方程为x²+y²=a²，过椭圆的左顶点A作斜率为k₁直线l₁与椭圆E₁和圆E₂分别相交于B、C． 
（Ⅰ）若k₁=1时，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E₁的离心率e；
（Ⅱ）若椭圆E₁的离心率e=，F₂为椭圆的右焦点，当|BA|+|BF₂|=2a时，求k₁的值；
（Ⅲ）设D为圆E₂上不同于A的一点，直线AD的斜率为k₂，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer

（I）当k1=1时，点C在y轴上，且C（0，a），利用中点坐标公式即可得出点B的坐标，再代入椭圆的方程即可得到a，b的关系，再利用斜率计算公式即可得出；
（II）设椭圆的作焦点为F1，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|=2a，即已知|BA|+|BF2|=2a，即可得出|BF1|=|BA|，则点B在线段AF1的垂直平分线上，可得点B的横坐标，再利用斜率计算公式得到b，a的关系，把点B的横坐标代入椭圆的方程即可得到纵坐标，再利用斜率计算公式即可得出k1．
（III）直线BD过定点（a，0）．设P（a，0），B（xB，yB），则点B的坐标满足椭圆方程．利用斜率计算公式可得kAD•kPB==，只要证明kAD•kPB=-1，而PD⊥AD，即可得到三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．
【解析】
（I）当k1=1时，点C在y轴上，且C（0，a），则B，
由点B在椭圆上，得，化为，
∴．
（II）设椭圆的作焦点为F1，由椭圆的定义可知：|BF1|+|BF2|=2a，又|BA|+|BF2|=2a，
∴|BF1|=|BA|，则点B在线段AF1的垂直平分线上，
∴，
又，∴，，
∴，代入椭圆方程得=，
∴=．
（III）直线BD过定点（a，0），证明如下：
设P（a，0），B（xB，yB），则（a＞b＞0）．
则kAD•kPB====．
∴PB⊥AD，又PD⊥AD，
∴三点P，B，D共线，即直线BD过定点P（a，0）．