Question

设双曲线的两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为2．
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）若A、B分别为l₁、l₂上的点，且2|AB|=5|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer

（Ⅰ）利用离心率为2，结合c2=a2+3，可求a，c的值，从而可求双曲线方程，即可求得渐近线方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F1F2|，建立方程，根据A、B分别为l1、l2上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．
【解析】
（Ⅰ）∵e=2，∴c2=4a2
∵c2=a2+3，∴a=1，c=2
∴双曲线方程为，渐近线方程为
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）
∵2|AB|=5|F1F2|，∴|AB|=|F1F2|=×2c=10，∴=10
∵，，2x=x1+x2，2y=y1+y2
∴，
∴
∴，对应的曲线为椭圆．