Question

已知点A（1，1）是椭圆上的一点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）设点C，D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由．

Answer

（1）根据椭圆定义及椭圆上点满足|AF1|+|AF2|=4，可得，a=2再把A点坐标代入椭圆方程，即可得到y值，椭圆的方程可求．
（2）只需设AC斜率，则AD斜率可知，在分别于椭圆方程联立，找C，D坐标，利用斜率公式判断．
【解析】
（1）∵A（1，1）是椭圆上的一点，F1、F2为两个焦点，
|AF1|+|AF2|=4，
∴2a=4，a=2，（2分）
  ，
∴，∴，（4分）
∴．椭圆的方程为．（6分）
（2）设C（xC，yC），D（xD，yD），
∵直线AC、AD的倾斜角互补，
∴直线AC、AD的斜率互为相反数，∴直线AC：y-1=k（x-1），直线AD：y-1=-k（x-1）．（8分）
由，得（1+3k2）x2+3（2k-2k2）x+3（k2-2k）-1=0（10分）
∵A点的横坐标x=1一定为该方程的解．
∴，同理，．（12分）
∴．
故直线CD的斜率为定值．（13分）