Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．
（1）哪些棱所在直线与直线AB₁是异面直线？
（2）求异面直线DB₁与CB所成角的余弦值
（3）求证：C₁O∥平面AB₁D₁．

Answer

（1）正方体ABCD-A1B1C1D1 中，O是底ABCD对角线的交点，则棱CB、CD、CC1、D1A1、D1D、D1C1所在直线与直线AB1是异面直线．
（2）设正方体的棱长为1，先找出异面直线DB1与CB所成角为∠B1DA （或其补角）．△B1DA 中，由余弦定理可得cos∠B1DA 的值，即可求得异面直线DB1与CB所成角的余弦值．
（3）设A1C1∩B1D1=M，证明四边形AOC1M为平行四边形，故有C1O∥AM．再根据直线和平面平行的判定定理证得C1O∥平面AB1D1．
【解析】
（1）正方体ABCD-A1B1C1D1 中，O是底ABCD对角线的交点，则棱CB、CD、CC1、D1A1、D1D、D1C1所在
直线与直线AB1是异面直线．
（2）设正方体的棱长为1，根据DA∥CB，可得异面直线DB1与CB所成角为∠B1DA （或其补角）．
△B1DA 中，由于DA=1，DB1=，AB1=，则由余弦定理可得cos∠B1DA=
==，
故异面直线DB1与CB所成角的余弦值为．
（3）设A1C1∩B1D1=M，则由正方体的性质可得 AO和C1M平行且相等，故四边形AOC1M为平行四边形，
故有C1O∥AM．
再由AM在平面AB1D1内，而CO不在平面AB1D1内，∴C1O∥平面AB1D1． （3分）