Question

如图，DC⊥平面ABC，EA∥DC，AB=AC=AE=DC，M为BD的中点．
（1）求证：EM∥平面ABC；
（2）求证：平面AEM⊥平面BCD；
（3）若AB=BC=2，求三棱锥E-BCD的体积V．

Answer

（1）取BC的中点N，连接MN、AN，利用三角形中位线定理结合已知条件证出四边形EANM是平行四边形，从而得到EM∥AN，利用线面平行判定定理即可证出EM∥平面ABC；
（2）利用等腰三角形“三线合一”证出AN⊥BC，由DC⊥平面ABC证出DC⊥AN，结合线面垂直判定定理可得AN⊥平面BCD，而AN∥EM可得EM⊥平面BCD，利用面面垂直判定定理即可证出平面AEM⊥平面BCD；
（3）由EM⊥平面BCD得EM是三棱锥E-BCD的高．由题中数据算出△BCD的面积为4，利用锥体的体积公式即可算出三棱锥E-BCD的体积V．
【解析】
（1）取BC的中点N，连接MN、AN，
∵M为BD的中点，∴MN∥DC且．…（1分）
∵EA∥DC，，∴EA∥MN，EA=MN．
∴四边形EANM是平行四边形．…（2分）
∴EM∥AN．…（3分）
又∵EM⊄平面ABC，AN⊂平面ABC，…（4分）
∴EM∥平面ABC．…（5分）
（2）∵AB=AC，N为BC的中点，∴AN⊥BC．…（6分）
∵DC⊥平面ABC，AN⊂平面ABC，∴DC⊥AN．…（7分）
又∵DC∩BC=C，∴AN⊥平面BCD．…（8分）
∵AN∥EM，∴EM⊥平面BCD．…（9分）
∵EM⊂平面AEM，∴平面AEM⊥平面BCD．…（10分）
（3）由（2）知EM是三棱锥E-BCD的高．
在△ABC中，AB=BC=AC=2，
∴，∴．…（11分）
在△BCD中，BC=2，CD=4，CD⊥BC，
∴△BCD的面积为．…（12分）
∴三棱锥E-BCD的体积为
．…（14分）