Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）求a，b的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．

Answer

（1）先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a和b的值；
（2）由（1）求出f′（x），再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．
【解析】
（1）由f（x）=x3+ax2+bx+5得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∴y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为：
y-f（1）=f′（1）（x-1），
即y-（a+b+6）=（3+2a+b）（x-1），
整理得y=（3+2a+b）x+3-a．
又∵y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴，解得，
∴a=2，b=-4．
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-4x+5，
f'（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f'（x）=0，得或x=-2．
当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：

x -3 （-3，-2） -2 1
f'（x） + - +
f（x） 8 增 极大值 减 极小值 增 4

∴f（x）的极大值为f（-2）=13，极小值为，
又∵f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13．