Question

已知函数f（x）=alnx+x² （a为实常数）．
（1）当a=-4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数；
（3）若 a＞0，且对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f（x₁）-f（x₂），求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=-4时，利用导数的运算法则可得，在区间（0，+∞）上分别解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出单调区间；
（2）当x=1时，方程f（x）=0无解．
当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程 （x∈（1，e]）．
设g（x）=，则．分别解出g′（x）＞0与g′（x）＜0即可得出单调性，
又g（e）=e2，，作出y=g（x）与直线y=-a的图象，由图象可知a的范围与方程根的关系；
（3）若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数在区间[1，e]上是减函数．
不妨设1≤x1≤x2≤e，则等价于．
即，即函数在x∈[1，e]时是减函数．
可得，即在x∈[1，e]时恒成立．再利用在x∈[1，e]时是减函数，即可得出实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=-4时，，
当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）当x=1时，方程f（x）=0无解．
当x≠1时，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等价于方程 （x∈（1，e]）．
设g（x）=，则．
当时，g'（x）＜0，函数g（x）递减，
当时，g'（x）＞0，函数g（x）递增．
又g（e）=e2，，作出y=g（x）与直线y=-a的图象，由图象知：
当2e＜-a≤e2时，即-e2≤a＜-2e时，方程f（x）=0有2个相异的根；
当a＜-e2或a=-2e时，方程f（x）=0有1个根；                
当a＞-2e时，方程f（x）=0有0个根．
（3）若a＞0时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，函数在区间[1，e]上是减函数．
不妨设1≤x1≤x2≤e，
则等价于．
即，
即函数在x∈[1，e]时是减函数．
∴，即在x∈[1，e]时恒成立．
∵在x∈[1，e]时是减函数，∴．
所以，实数a的取值范围是．