Question

函数f（x）的定义域为R，f（-2）=2013，对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x²+2009的解集为（ ）
A．（-2，2）
B．（-2，+∞）
C．（-∞，-2）
D．（-∞，+∞）

Answer

构造函数g（x）=f（x）-x2-2009，利用对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．
【解析】
令g（x）=f（x）-x2-2009，则g′（x）=f′（x）-2x＜0，
∴函数g（x）在R上单调递减，
而f（-2）=2013，
∴g（-2）=f（-2）-（-2）2-2009=0．
∴不等式f（x）＞x2+2009，可化为g（x）＞g（-2），
∴x＜-2．
即不等式f（x）＞x2+2009的解集为（-∞，-2）．
故选C．