Question

已知函数（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）求函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值．

Answer

（1）求导函数，利用导数的几何意义，结合函数解析式，即可求a，b的值；
（2）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）将函数的极大值与端点函数值，比较，即可求函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值．
【解析】
（1）由题意，f′（x）=x2-2ax+a2-1．                                     …（1分）
又∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，
所以切线的斜率为-1，即 f′（1）=-1，∴a2-2a+1=0，解得a=1．                       …（2分）
又∵点（1，f（1））在直线x+y-3=0上，∴f（1）=2，…（3分）
同时点（1，f（1））即点（1，2）在y=f（x）上，∴，…（4分）
即，解得．                                 …（5分）
（2）由（1）有，∴f′（x）=x2-2x，…（6分）
由f′（x）=0可知x=0，或x=2，
所以有x、f′（x）、f（x）的变化情况表如下：

x （-∞，0） （0，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 极大值  极小值 

…（8分）
由上表可知，f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）； …（10分）
∴函数f（x）的极大值是，极小值是．                  …（11分）
（3）由（2），函数f（x）在区间[-2，5]上的极大值是．            …（12分）
又，…（13分）
∴函数f（x）在区间[-2，5]上的最大值为．…（14分）