Question

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式；
（3）求证：（n∈N^*）．

Answer

（1）由图分别求出f（2），f（3），f（4），f（5）．
（2）根据（1）的几个数值，归纳出f（n）的表达式．
（3）利用归纳的f（n）的表达式，将数列进行化简求和，然后利用归纳法证明不等式．
【解析】
（1）由题意有f（1）=3，f（2）=f（1）+3+3×2=12，
f（3）=f（2）+3+3×4=27，f（4）=f（3）+3+3×6=48，f（5）=f（4）+3+3×8=75．                                            …（2分）
（2）由题意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，…（4分）
即f（n+1）-f（n）=6n+3，
所以f（2）-f（1）=6×1+3，
f（3）-f（2）=6×2+3，
f（4）-f（3）=6×3+3，
…f（n）-f（n-1）=6（n-1）+3，…（5分）
将上面（n-1）个式子相加，
得：f（n）-f（1）=6[1+2+3+…+（n-1）]+3（n-1）==3n2-3…（6分）
又f（1）=3，所以f（n）=3n2．                   …（7分）
（3）∵f（n）=3n2
∴．           …（9分）
当n=1时，，原不等式成立．       …（10分）
当n=2时，，原不等式成立．  …（11分）
当n≥3时，==，原不等式成立．                …（13分）
综上所述，对于任意n∈N*，原不等式成立．        …（14分）