Question

若函数f（x）满足：对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，则称函数f（x）为“守法函数”．给出下列四个函数：①；②y=log₂（x+1）；③y=2^x-1；④y=cosx；其中“守法函数”的所有函数的序号是    ．

Answer

分别判断四个函数是否满足两个条件f（x1）＞0，f（x2）＞0和f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）成立，然后确定“守法函数的序号”．
【解析】
①若f（x）=，则对于任意x1＞0，x2＞0都有f（x1）＞0，f（x2）＞0，f（x1）+f（x2）=，f（x1+x2）=，，所以f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），所以①不是“守法函数”．
②若f（x）=log2（x+1），对于任意x1＞0，x2＞0都有f（x1）＞0，f（x2）＞0，设x1=x2=1，则f（x1）+f（x2）=1+1=2，而f（x1+x2）=log23＜2，所以f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）不成立，所以②不是“守法函数”．
③若f（x）=2x-1，对于任意x1＞0，x2＞0都有f（x1）＞0，f（x2）＞0，f（x1）+f（x2）-f（x1+x2）=2x1-1+2x2-1-2x1+x2+1＜0，则③是“守法函数”．④若f（x）=cosx，因为f（x）=cosx∈[-1，1]，所以任意x1＞0，x2＞0，f（x1）＞0，f（x2）＞0不一定成立，所以④不是“守法函数”．
故答案为：③．