Question

设f（x）是R上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．
（Ⅰ）求f（π）的值；
（Ⅱ）作出当-4≤x≤4时函数f（x）的图象，并求它与x轴所围成图形的面积；
（Ⅲ）直接写出函数f（x）在R上的单调区间．

Answer

（1）利用f（x+2）=-f（x）得f（x）是以4为周期的周期函数，从而可求f（π）的值；
（2）当-4≤x≤4时，确定函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，可得f（x）的图象，从而可求图象与x轴所围成图形的面积；
（3）根据周期性，结合函数的通项，即可得到函数f（x）的单调区间．
【解析】
（1）由f（x+2）=-f（x）得，f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∴f（π）=f（-1×4+π）=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4．
（2）由f（x）是奇函数与f（x+2）=-f（x），得：f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，
即f（1+x）=f（1-x）．
故知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
又0≤x≤1时，f（x）=x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示．

当-4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S=4S△OAB=4×=4，
（3）由图得，
函数f（x）的单调递增区间为[4k-1，4k+1]（k∈Z），
单调递减区间[4k+1，4k+3]（k∈Z）．