Question

设函数f（x）=-x（x-a）²，x∈R，其中a∈R．
（Ⅰ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）当a＞3时，是否存在实数k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）求导数，利用导数研究函数的极大值和极小值．
（Ⅱ）将不等式恒成立问题转化为最值恒成立，然后构造函数，利用导数求最值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x，所以f'（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．．
令f'（x）=0，得x=a或x=．
①若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x （-∞，） （，a） a （a，+∞）
f'（x） - + -

因此，函数f（x）在x=处取得极小值；函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…（4分）
②若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x （-∞，a） a （a，） （，+∞）
f'（x） - + -

因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；函数f（x）在x=处取得极大值f（），且．…（6分）
（Ⅱ）假设存在实数k∈[-1，0]，使不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立，
由a＞3，得，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．
由②知f（x）在（-∞，1]上是减函数，要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立，
只要k-cosx≤k2-cos2x，即cos2x-cosx≤k2-k成立．
因为g（x）=cos2x-cosx=（cosx-）2，所以g（x）的最大值为2．此时有k2-k≥2，解得k≥2或k≤-1．
因为k∈[-1，0]，所以k=-1．
即存在k=-1．使得f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．