Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AA₁=AC=BC=2，D、E、F分别是AB、AA₁、CC₁的中点，P是CD上的点．
（1）求直线PE与平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）求证：直线PE∥平面A₁BF；
（3）求直线PE与平面A₁BF的距离．

Answer

（1）PE在平面ABC内的射影为AP，则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角，当点P与D重合时，AP最短，由此可求直线PE与平面ABC所成角的正切值的最大值；
（2）证明平面EDC∥平面A1BF，即可证明直线PE∥平面A1BF；
（3）直线PE与平面A1BF的距离等于两平行平面EDC与平面A1BF的距离，即点A1到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离，利用VA-EDC=VE-CAD，可求直线PE与平面A1BF的距离．
（1）【解析】
由题意，PE在平面ABC内的射影为AP，则∠EPA为PE与平面ABC所成角的平面角，且tan∠EPA=
当点P与D重合时，AP最短，此时tan∠EPA=
∴直线PE与平面ABC所成角正切值的最大值为      …（4分）
（2）证明：如图所示，连接DE、CE，
∵D、E、F分别是所在棱的中点，
∴DE∥A1B，A1E∥CF
∴EC∥A1F
∵DE∩EC=E，A1B∩A1F=A1，
∴平面EDC∥平面A1BF
∵PE⊂平面EDC，
∴直线PE∥平面A1BF；…（8分）
（3）【解析】
由（2）可知，直线PE与平面A1BF的距离等于两平行平面EDC与平面A1BF的距离，即点A1到平面EDC的距离，亦即A到平面EDC的距离．
设A到平面EDC的距离为h，又CD⊥AB，平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面A1ABB1
∴ED⊂平面A1ABB1，
∴CD∥ED
∴△CED为直角三角形．
由VA-EDC=VE-CAD，得
∴h=   …（12分）