Question

已知函数．
（Ⅰ）若g（x）=f（x）-a为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．

Answer

（I）根据f（x）表达式，得g（x）=，再根据奇函数的定义采用比较系数法即可求出实数a的值．
（II）设0＜x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，得f（x1）＜f（x2），结合函数奇偶性的定义得到函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．
【解析】
（Ⅰ）∵
∴g（x）=f（x）-a=，…（2分）
∵g（x）是奇函数，
∴g（-x）=-g（x），即，
解之得a=1．…（5分）
（Ⅱ）设0＜x1＜x2，则
=．（9分）
∵0＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，从而，（11分）
即f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．（12分）