Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁，M、N分别为BB₁、A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：CB₁⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC₁．

Answer

（I）根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出AB⊥平面BB1C1，得出AB⊥CB1．正方形BCC1B1中，对角线CB1⊥BC1，由线面垂直的判定定理可证出CB1⊥平面ABC1；
（II）取AC1的中点F，连BF、NF，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出EF∥BM且EF=BM，从而得到BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，结合线面平行判定定理即可证出MN∥面ABC1．
【解析】
（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
侧面BB1C1C⊥底面ABC，且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB1C1      …（2分）
∵CB1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥CB1．…（4分）
∵BC=CC1，CC1⊥BC，∴BCC1B1是正方形，
∴CB1⊥BC1，
∵AB∩BC1=B，∴CB1⊥平面ABC1．
（Ⅱ）取AC1的中点F，连BF、NF．…（7分）
在△AA1C1中，N、F是中点，
∴NFAA1，
又∵正方形BCC1B1中BMAA1，
∴EF∥BM，且EF=BM…（8分）
故四边形BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，…（10分）
∵EF⊂面ABC1，MN⊄平面ABC1，
∴MN∥面ABC1…（12分）