Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点，并写出f（x）＜0时，x取值的集合；
（Ⅲ）设F（x）=4f（a^x）+3a^2x-1（a＞0且a≠1），当x∈[-1，1]时，F（x）有最大值14，试求a的值．

Answer

（1）将f（x-1）=f（x）+x-1化简，再利用函数相等的意义求出a，b，得出f（x）的解析式；
（2）解f（x）=0，求出零点，依照二次不等式解法求解f（x）＜0
（3）将ax看作整体u，换元得出关于u的二次函数，利用二次函数图象与性质求解．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax2+bx满足f（x-1）=f（x）+x-1，∴a（x-1）2+b（x-1）=ax2+bx+x-1，即ax2-（2a-b）x+a-b=ax2+（b+1）x-1，∴．∴．…（5分）
（ II）由f（x）=0得函数的零点为0，1．
又函数f（x）的图象是开口向下的抛物线，∴f（x）＜0时x＞1或x＜0．
∴x取值的集合为{x|x＞1或x＜0}．…（9分）
（ III）由F（x）=4f（ax）+3a2x-1（a＞0且a≠1），得F（x）=a2x+2ax-1．
①当a＞1时，令u=ax，∵x∈[-1，1]，∴，令g（u）=u2+2u-1=（u+1）2-2，．∵对称轴u=-1，∴g（u）在上是增函数．∴，∴a2+2a-15=0，∴a=3，a=-5（舍）．
②当0＜a＜1时，令u=ax，∵x∈[-1，1]∴∴g（u）=u2+2u-1=（u+1）2-2，，∵对称轴u=-1，∴g（u）在上是增函数．∴，∴（舍），∴．
综上或a=3．…（14分）