Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．数列{b_n}满足．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设，求c_n取得最大值时n的值．

Answer

（1）设等差数列{an}首项为a1，由已知结合等差数列性质得出，a3+a6=a2+a7．转化为关于a3，a6=的方程组，再利用相关性质求出a1，d，得出数列{an}的通项公式；当n=1时，b1=a1=1； 当n≥2时推导得出．可求得
（2）设cn≤cn+1，求出（等号不成立），所以n=4时，cn最大．
【解析】
（1）∵{an}是一个公差d大于0的等差数列，则a3+a6=a2+a7．
∴解得…（2分）
则3d=a6-a3=6，d=2．a1=1．
∴an=2n-1．                                …（4分）
∵，①
1°当n=1时，b1=a1=1；                        …（5分）
2°当n≥2时，，②
①-②，得．
∴．                              …（8分）
由1°，2°，得…（9分）
（2）设cn≤cn+1，即 ．    …（10分）
∵an＞0，bn+2=2bn+1，∴2an≤an+3．
即2（2n-1）≤2n+5，∴（等号不成立）．      …（12分）
∴c1˂c2˂c3˂c4，c4˃c5˃…．
∴n=4时，cn最大．                           …（14分）