Question

已知函数．
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，求实数a，b的值；
（2）若a≤0，求f（x）的单调减区间；
（3）对一切实数a∈（0，1），求f（x）的极小值的最大值．

Answer

（1）求导函数，利用函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为9x-y+b=0，即可求实数a，b的值；
（2）分类讨论，利用导数小于0，可得f（x）的单调减区间；
（3）求导数，确定f（x）的极小值，对一切实数a∈（0，1），利用配方法，即可求f（x）的极小值的最大值．
【解析】
（1）f′（x）=ax2-（a+1）x+1（a∈R），…（1分）
由f′（2）=9，得a=5．，…（2分）
∴
∴f（2）=3，
∴（2，3）在直线9x-y+b=0上，
∴b=-15．          …（4分）
（2）①若a=0，，
∴f（x）的单调减区间为（1，+∞）．                     …（6分）
②若a＜0，则，
令f′（x）＜0，得．∴，或x＞1．    …（9分）
∴f（x）的单调减区间为，（1，+∞）．             …（10分）
（3），0＜a＜1，
列表：

x （-∞，1） 1 （1，） （，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

…（12分）
∴f（x） 的极小值为
=．                 …（14分）
当时，函数f（x）的极小值f（）取得最大值为．   …（16分）