Question

已知函数，若同时满足条件：
①∃x∈（0，+∞），x为f（x）的一个极大值点；
②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，8]
B．[8，+∞）
C．（-∞，0）∪[8，+∞）
D．（-∞，0）∪（4，8]

Answer

求导数，由①得到；
由②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4＜a≤8．
【解析】
由于，则=
令f′（x）=0，则，
故函数f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减
由于∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
当x2＞8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为，此时无解；
当x2≤8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为，解得a≤8．
又由∃x∈（0，+∞），x为f（x）的一个极大值点，故解得a＞4；
故实数a的取值范围为4＜a≤8
故答案为 A