Question

已知正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15．
（I）求b的值；
（II）若a+1，b+1，c+4成等比数列；
（i）求a，c的值；
（ii）若a，b，c为等差数列{a_n}的前三项，求数列的前n项和．

Answer

（I）利用正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15，建立方程组，即可求b的值；
（II）（i）根据等比数列的性质，结合正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15，即可求a，c的值；
（ii）确定数列的图象，分类讨论，利用等差数列求和公式及错位相减法，即可得到结论．
【解析】
（I）由题意，得
由（1）（2）两式，解得b=5（4分）
（II）（i）因为a+1，b+1，c+4成等比数列，
所以（a+1）（c+4）=（b+1）2（3）
由（2）式，得c=10-a代入（3），整理得a2-13a+22=0
解得a=2或a=11
故a=2，c=8或a=11，c=-1（舍）
所以a=2，c=8（8分）
（ii）因为a，b，c为等差数列{an}的前三项，
所以
当x=1时，数列的前n项
当x≠1时，数列的前n项①②
①-②：=
所以（12分）