Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（其中a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer

（I）由使f（x）的解析式x+1＞0，且1-x＞0，由此求得x的范围，即可得到函数f（x）的定义域．对于函数g（x），由解析式可得 ，由此求得它的定义域．
（II）设F（x）=f（x）-g（x），对于函数y=F（x），由于它的定义域关于原点对称，且F（-x）=-F（x），可得函数F（x）为奇函数．
【解析】
（Ⅰ）若要f（x）-g（x）有意义，则，即-1＜x＜1．（4分）
所以所求定义域为{x|-1＜x＜1}（5分）
（Ⅱ）f（x）-g（x）为奇函数．证明如下：
设，（7分）
由（1）知F（x）的定义域关于原点对称
且．（10分）
所以f（x）-g（x）是奇函数                                 （12分）