Question

如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱（其中R，h均为常数）．
（1）当x=h时，求内接圆柱上方的圆锥的体积V；
（2）当x为何值时，这个内接圆柱的侧面积最大？并求出其最大值．

Answer

（1）根据圆锥的底面半径与高，可得内接圆柱的高为x时，它的高h，由此结合圆柱体积公式即可列出用x表示圆柱的体积的式子；
（2）由（1）可得圆柱的侧面积，结合二次函数的单调性与最值，可得当圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，侧面积有最大值为6π．
【解析】
圆锥、圆柱的轴截面如图所示，其中SO=h，OA=OB=R，OK=x．
设圆柱底面半径为r，则（3分）
（1）当时，
∴=
（2）设圆柱的侧面积为S．
∵，
∴=
∴当时，．