Question

如图已知在三棱柱ABC--A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA₁、BB₁、AB、B₁C₁的中点．
（1）求证：平面ABC₁∥平面MNQ；
（2）求证：平面PCC₁⊥平面MNQ．

Answer

（1）欲证面平面ABC1∥平面MNQ，只需证AB∥平面MNQ，而N，Q分别是BB1，B1C1的中点，易证NQ∥BC1，根据平面与平面平行的判定定理即得结论；
（2）欲证平面PCC1⊥平面MNQ，只需证MN⊥面PCC1，而MN∥AB．易证AB⊥面PCC1，根据两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与面垂直即可．
证明：（1）∵N，Q分别是BB1，B1C1的中点，
∴NQ∥BC1（1分）
又∵NQ⊂平面MNQ，BC1⊄平面MNQ，
∴BC1∥平面MNQ（4分）
∵AB∥MN，MN⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ．（5分）
又∵AB∩BC1=B，
∴平面ABC1∥平面MNQ．（7分）
（2）∵AC=BC，P是AB的中点，∴AB⊥PC  （8分）
∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，∴CC1⊥面ABC，
而AB在平面ABC内，∴CC1⊥AB，（9分）
∵CC1∩PC=C∴AB⊥面PCC1；          （10分）
又∵M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC1                           （12分）
∵MN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ；   （14分）