Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
（1）求直线BC的斜率及点C的坐标；
（2）求BC边所在直线方程；
（3）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程．

Answer

（1）由经过两点的斜率公式，可算出直线Ab的斜率，从而得出与AB垂直的直线BC的斜率为．由两点间距离公式算出AB=，进而在Rt△ABC利用相似三角形算出且OC=4，由此可得点C的坐标；
（2）根据B、C两点的坐标，运用直线方程的点斜式列式，再化简即可得到直线BC方程为y=x-2；
（3）根据A、C两点的坐标算出AC中点M坐标为（1，0），而圆M的半径R=|AC|=3，利用圆方程的标准形式即可写出圆M的方程为（x-1）2+y2=9．
【解析】
（1）∵A（-2，0），B（0，），
∴直线Ab的斜率为，
又∵AB⊥BC，∴（3分）
由两点间距离公式，得，
∵△OAB∽△OBC，得，∴，可得，
∴Rt△OBC中，BC2=AC×OC，
即（2）2=（0C+2）•0C，解之得OC=4（舍负），
由此可得点C坐标为（4，0）（7分）
（2）∵B（0，-），C（4，0）
∴直线BC的斜率k==，
由点斜式方程得直线BC方程为y=（x-4），
化简得，即为所求BC边所在直线方程；
（3）由（1）得C（4，0），且A（-2，0）
∴AC中点坐标为（1，0），即圆心M（1，0）
又∵圆M的半径AM=|AC|=3，
∴Rt△ABC外接圆M的方程为（x-1）2+y2=9．（16分）