Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：PB⊥平面ADMN．

Answer

（1）利用线面平行的判定定理AD∥平面PBC，利用性质定理可得AD∥MN，再利用判定定理即可得出MN∥平面PAD；
（2）取AD中点O，连接PO，BO，BD．在等边△PAD中，PO⊥AD．在△ABD中，利用菱形的性质可得AD=AB，及∠BAD=60°，可得△ABD为等边三角形，可得BO⊥AD．利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面POB，于是AD⊥PB．在△PAB，利用等腰三角形的性质及PA=AB，PN=NB，可得AN⊥PB．再利用线面垂直的判定定理即可得出．
证明：（1）∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，
∴AD∥平面PBC．                                
又∵AD⊂平面ADMN，平面ADMN∩平面PBC=MN，
∴AD∥MN．                                        
而AD⊂平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）取AD中点O，连接PO，BO，BD．
在等边△PAD中，PO⊥AD．
在△ABD中，∵AD=AB，∠BAD=60°，
∴三角形ABD为等边三角形，∴BO⊥AD．
又∵PO∩BO=O，
∴AD⊥平面POB，∴AD⊥PB．
在△PAB，∵PA=AB，PN=NB，∴AN⊥PB．
又∵AD∩AN=A，
∴PB⊥平面ADMN．