Question

已知函数f（x）=2sinx-2sin²x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（）=，x，求cos2x的值．
（Ⅲ）在锐角△ABC中，三条边a，b，c对应的内角分别为A、B、C，若b=2，C=，且满足f（-）=，求△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式求得函数f（x）为 sin（2x+），可得函数f（x）的最小正周期T==π．
（Ⅱ）由已知得f（）=sinx+cosx=，两边平方，求得sin2x=-． 由 x  可得 2x ，再由 cos2x=，运算求得结果．
（Ⅲ）因为 f（-）=sinA=，求得sinA的值，可得A的值． 再由C= 求得B的值．可得b=c=2，由此求得△ABC的面积S=bc•sinA的值．
【解析】
（Ⅰ）由于 函数f（x）=2sinx-2sin2x+1=2sinxcosx+cos2x=sin（2x+），
可得函数f（x）的最小正周期T==π．
（Ⅱ）由已知得f（）=sinx+cosx=，
两边平方，得1+sin2x=，所以，sin2x=-．   
因为 x ，所以 2x ，
所以，cos2x===．
（Ⅲ）因为 f（-）=sin[2（-）+]=sinA=，
所以sinA=，又因为△ABC为锐角三角形，所以A=．
所以由A+B+C=π，且C= 得到：B=．
所以b=c=2，且△ABC的面积S=bc•sinA=×2×2×=1．