Question

已知{a_n}是首项为a₁=1的等差数列且满足a_n+1＞a_n（n∈N^*），等比数列{b_n}的前三项分别为b₁=a₁+1，b₂=a₂+1，b₃=a₃+3．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足（a_n+3）c_nlog₂b_n=，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（I）设等差数列{an}的公差为d，由通项公式分别把b1、b2、b3表示出来，再由等比中项列出方程，求出d的值，再由数列{an}为单调递增数列进行取舍，再求出公比q，分别代入对应的通项公式化简即可；
（Ⅱ）由（I）和条件求出cn并裂项，代入数列{cn}的前n项和Sn进行化简．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
首项a1=1，b1=2，b2=2+d，b3=4+2d，
∵{bn}为等比数列，∴，
即（2+d）2=2（4+2d），解得d=±2，
又∵an+1＞an，即数列{an}为单调递增数列，
∴d=2，a2=3，a3=5，∴an=a1+（n-1）d=2n-1，
则b1=2，b2=4，q=2，
∴，
∴an=2n-1，，
（Ⅱ）由题意得，，再由（1）结果代入，
变形得，
∴Sn=+…+
==．