Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+t，是否存在实数t，使得曲线y=g（x）与x轴有两个交点，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由f（x）=ax3+bx2-3x在x=1或3处取得极值，可得f'（1）=f'（3）=0，故可得到a、b的方程组，求解即可；

（2）曲线y=g（x）与x轴有两个交点，转化成g（x）=0有两个不同的实数解，然后利用导数研究函数的单调性和极值，然后依题意有g（x）极大值=0或g（x）极小值=0即可求出t的值．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx-3，
因为f（x）在x=1和x=3处取得极值，
所以x=1和x=3是f′（x）=0的两个根，…（2分）
∴，∴…（5分）
（Ⅱ）g′（x）=-x2+4x-3，令g′（x）=0，∴x=3或x=1．…（7分）
当x变化时，g′（x），g（x）变化情况如下表：

x （-∞，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
g′（x） - + -
g（x） 极小值 极大值

由上表可知：g（x）极大值=g（3）=t；…（9分）
∵=，∴由此可知x取足够大的正数时，有g（x）＜0；x取足够小的负数时，有g（x）＞0，…（10分）
因此，为使曲线y=g（x）与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，
必有：g（x）极大值=g（3）=t=0，或，∴t=0或
所以存在t且t=0，或…（12分）