Question

已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为0的函数，对任意实数x，y有f（x）f（y）=f（x+y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明f（x）恒正；
（Ⅱ）判断f（x）在实数集R上单调性；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=，a_n=f（n）（n为正整数）．令b_n=f（S_n），问数列{b_n}中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．

Answer

（Ⅰ）由f（x）f（y）=f（x+y），利用赋值法，即可求f（0）的值，利用当x＞0时，有0＜f（x）＜1，证明f（x）恒正；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义，结合f（x）恒正，即可得到f（x）在实数集R上单调性；
（Ⅲ）确定数列{an}是通项与前n项和，可得可得f（Sn）随着n的增大而减小，从而数列{bn}为递减数列，由此可得结论．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）f（y）=f（x+y），令x＞0，y=0，则f（x）f（0）=f（x），
∵当x＞0时，有0＜f（x）＜1，∴f（0）=1．…（2分）
当x＜0时，-x＞0，∴0＜f（-x）＜1，
由于f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1
所以，综上可知，f（x）恒正；…（4分）
（Ⅱ）设x1＜x2，则x2-x1＞0，∴0＜f（x2-x1）＜1
又由（1）可知f（x1）＞0
所以f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）f（x1）＜f（x1）
故f（x）在实数集R上是减函数；…（8分）
（Ⅲ）由题意，an=f（n），
∴，
∴数列{an}为以首项，公比为的等比数列，
∴…（12分）
由此可知，Sn随着n的增大而增大，再根据（2）可得f（Sn）随着n的增大而减小，
所以数列{bn}为递减数列，
从而存在最大项，其为…（14分）